a)

Geben Sie eine DG für die gegebene Schar an (mit Probe).

Man eliminiert aus dem Gleichungssystem für die Schar und ihre Ableitung den Scharparameter (bzw. man stellt fest, daß die Ableitung das -x-fache der Funktion ist):

> fts:=D(ft);

> sys:=solve({y(x)=ft(x),ys(x)=fts(x)},{t,ys(x)});

>

> assign(%);t:='t':

> DGL:=diff(y(x),x)=ys(x);

Probe:

> sol:=dsolve(DGL,y(x));

Mit der Integrationskonstanten _C1 = t als Scharparameter

>

> # 2 VP

>

Zeichnung:

> plot({seq(ft(x),t=-5..5)},x=-4..4,-6..6);

>

> # 1 VP

>

Wo liegen die Wendepunkte der Scharkurven?

Für die notwendige Bedingung müssen die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt werden.

> ftss:=D(fts);

>

> solve(ftss(x),x);

Hinreichende Bedingung:

> ftsss:=D(ftss);

> ftsss(1);

Ist von Null verschieden (außer für t = 0).

>

Bzw. Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung:

> limit(signum(0,ftss(x),0),x=1,left);limit(signum(0,ftss(x),0),x=1,right);

Die Wendepunkte aller Scharkurven liegen also auf den Geraden x = 1 und x = -1 ('geom. Argumentation': Schar entsteht durch Streckung).

>

> # 2 VP

>

Stellen Sie die Gleichung für die Schar der Isoklinen von ft auf zwei Arten auf.

1. Aus der Differentialgleichung für ft erhält man direkt die Kurven gleicher Steigung:

> DGL;

> yiso=solve(rhs(DGL)=const,y(x));

2. (Standardverfahren zur Bestimmung von Ortskurven) Eliminieren des Scharparameters mit der Bedingung 'gleiche Steigung für alle Kurven':

> ti:=solve(fts(x)=const,t);

> yiso:=simplify(subs(t=ti,ft(x)));

>

> plot([seq(ft(x),t=-5..5),seq(yiso,const=-4..4)],x=-4..4,-6..6,color=[red,blue]);

>

> # 3 VP

>

>

b)

b) Zeichnen Sie die vier Kurven der Schar, die in ihren Wendepunkten Steigungen vom Betrag 1, 2, 3 und 4 haben und oberhalb der x-Achse liegen.

Der Scharparameter t muß geeignet gewählt werden

> solve(fts(1)=n,t);

Also:

> t=-n*exp(1/2);

Probe:

> simplify({seq(fts(1),t=seq(i*exp(1/2),i=1..4))});

Und Symmetrie zur y-Achse

> plot({seq(ft(x),t=seq(i*exp(1/2),i=1..4))},x=-4..4,0..8,scaling=constrained);

>

> # 2 VP

>

Zeichnen Sie diejenigen Isoklinen, welche diese vier Kurven jeweils in den Wendepunkten berühren.

Die Scharkurven haben in ihren Wendepunkten die betragsmäßig größte Steigung. Eine Isokline, die mit einer Scharkurve deren Wendepunkt gemeinsam hat, kann diese Schrkurve also nicht an einer zweiten Stelle schneiden. Es müssen also die Isoklinen zu den Steigungen mit den Beträgen 1, 2, 3 und 4 gezeichnet werden.

(Ausführlicher: Isoklinen zu ganzzahliger Seigung haben für x=+-1 gleiche Funktionswerte und Steigung wie die vier Scharkurven. Ihre zweite Ableitung ist aber nie Null, also berühren sich die Kurven.)

>

> display(plot({seq(ft(x),t=seq(i*exp(1/2),i=1..4))},x=-4..4,y=0..7),plot({seq(abs(yiso),const=1..4)},x=-4..4,y=0..7,color=black),scaling=constrained);

>

> # 3 VP

>

Was läßt sich über die Anzahl der Schnittpunkte einer Isokline mit einer Scharkurve aussagen?

Eine bestimmte Isokline zur Steigung c vorausgesetzt:

a) Kein Schnittpunkt: Die Steigung einer Scharkurve ist im Wendepunkt betragsmäßig kleiner als |c|

b) Genau ein Berührpunkt: Die Steigung einer Scharkurve ist im Wendepunkt gleich c

c) Zwei Schnittpunkte: Die Steigung einer Scharkurve ist im Wendepunkt betragsmäßig größer als |c|

>

> # 2 VP

>

Anm: Die Schnittpunkte von Scharkurven und Isoklinen lassen sich nur numerisch berechnen (bzw. LambertW).

>

c)

Im Punkt Q( 6 | 6 | -9 ) befindet sich eine punktförmige Lichtquelle. Ein Beobachter in P(-12 | -6 | 15 ) sieht das Spiegelbild von Q in einem ebenen Spiegel mit der Gleichung E1: x+2y+2z+9 = 0. In welchem Punkt S der Ebene E1 wird der Lichtstrahl reflektiert? Zeichnen Sie die Lichtquelle, den Beobachtungspunkt, den Spiegel und den Strahlengang.

> restart:with(geom3d):with(plots):with(linalg):
_EnvXName:=x: _EnvYName:=y: _EnvZName:=z:_EnvTName:=t:

Warning, new definition for inverse

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

Definition der Ebene

> n:=[1,2,2];r:=[x,y,z];dE:=9:

> plane(E1,innerprod(n,r)+dE=0,[x,y,z]);

> detail(E1);

   name of the object: E1

   form of the object: plane3d

   equation of the plane: x+2*y+2*z+9 = 0

>

>

Lichtquelle Q

> q:=[6,6,-9]:

> coordinates(point(Q,q));

Lotfußpunkt L (nicht verlangt)

> coordinates(projection(L,Q,E1));

>

Spiegelbild QS

> coordinates(reflection(QS,Q,E1));

>

Betrachter in P

> p:=[-12,-6,15]:

> point(P,p):

Gerade g vom Betrachter zum Spiegelbild

>

> Equation(line(g,[P,QS]));

>

Schnitt S von g mit E1

> coordinates(intersection(S,g,E1));

> # 2 VP

Zeichnung (enthält auch nicht verlangte Elemente)

>

> vopt:=view=[-15..15,-15..15,-15..15]:

> E1pl:=draw(E1,axes=normal,color=yellow,style=patchnogrid,vopt):

> Ppl:=display(draw(P,symbol=box),color=red,vopt):

> Qpl:=display(draw(Q,symbol=box),color=red,vopt):

> Lpl:=display(draw(L,symbol=box),color=red,vopt):

> QSpl:=display(draw(QS,symbol=box),color=red,vopt):

> QQSpl:=draw(segment(QQS,[Q,QS]),thickness=2,vopt):

> PQSpl:=draw(g,thickness=2,vopt):

> Spl:=display(draw(S,symbol=box),color=red,vopt):

> SQSpl:=draw(segment(SQS,[Q,S]),thickness=2,vopt):

>

> display(Ppl,Qpl,Lpl,QSpl,Spl,QQSpl,PQSpl,SQSpl,E1pl,axes=normal,orientation=[-44,64]);

>

> # 2 VP

>

Die Strahlen QS und SP liegen in einer Ebene E2. Geben Sie eine Gleichung für E2 in Koordinatenform mit möglichst kleinen ganzzahligen Koeffizienten an. Zeigen Sie, daß diese Ebene senkrecht auf E1 steht, und bestimmen Sie die Schnittgerade h von E2 mit E1. Ergänzen Sie die Zeichnung durch die Ebene E2 und die Schnittgerade.

Definition der Ebene

> dsegment(SQ,S,Q);

>

> dsegment(SP,S,P);

>

> plane(E2,[SQ,SP]);

> detail(E2);

   name of the object: E2

   form of the object: plane3d

   equation of the plane: 180+90*x-75*y+30*z = 0

Möglichst kleine ganzzahlige Koeffizienten

> plane(E2,Equation(E2)/15);

> Equation(E2);

E2 orthogonal E1

> dotprod(n,[6,-5,2]);

> #ArePerpendicular(E1,E2);

>

> # 2 VP

>

Gleichung der Schnittgeraden h

> rh:=Equation(intersection(h,E1,E2));

Zeichnung

> E2pl:=draw(E2,axes=normal,color=green,style=patchnogrid,vopt):

> hpl:=draw(h,thickness=2,color=black,vopt):

> #display(E1pl,Ppl,Qpl,E2pl,hpl);

> display(E1pl,Ppl,Qpl,Spl,E2pl,hpl,Lpl,QSpl,Spl,QQSpl,PQSpl,SQSpl,orientation=[-6,76]);

>

> # 2 VP

>

>

d)

Zeigen Sie, daß von allen gedachten Lichtwegen, die von Q über einen Punkt S' der Geraden h nach P führen, der Weg QSP der kürzeste ist.

> lichtweg:=distance(P,S)+distance(S,Q);

>

Richtungsvektoren von h (Aufpunkt vom Ortsvektor abziehen)

> rhv:=rh-subs(t=0,rh);

Punkt S' (Richtungsvektoren zum Aufpunkt S addieren)

> coordinates(point(SS,coordinates(S)+rhv));

Abstände addieren

> umweg:=distance(P,SS)+distance(SS,Q);

>

> # 2 VP

>

Notwendige

> solve(diff(umweg,t));

und hinreichende Bedingung für ein Minimum

> subs(t=0,diff(umweg,t$2));

>

> # 1 VP

>

>

Veranschaulichen Sie mit Hilfe einer geeigneten Funktion von zwei Veränderlichen, daß S der Punkt der Ebene E1 ist, zu dem der kürzeste Lichtweg von Q über E1 nach P gehört. Untersuchen Sie, ob diese Funktion die für ein Extremum notwendige Bedingung erfüllt.

>

Naheliegend ist es, einen zweiten Richtungsvektor zu verwenden, der senkrecht auf dem Normalenvektor von E1 und einem Richtungsvektor von h steht

> rj:=convert(subs(t=s,crossprod(n,rhv)),list);

(crossprod() erzeugt Vektor, point() braucht Liste!)

> #dotprod(rhv,rj),dotprod(n,rj);

>

Punkt der Ebene, der für s = t = 0 in S übergeht

> coordinates(point(SU,coordinates(S)+rhv+rj));

> umweg2:=distance(P,SU)+distance(SU,Q);

>

> # 2 VP

>

> plot3d(umweg2,s=-0.1..0.1,t=-1..1,style=patchcontour,axes=framed,orientation=[-22,35]);

>

>

Notwendige Bedingung:

> solve({diff(umweg2,t),diff(umweg2,s)});

>

> # 2 VP

>

>