{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Hyperlink" -1 17 "" 0 1 0 128 128 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Text Output" -1 2 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 255 1 0 0 0 0 0 1 3 0 3 1 }1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "R3 Font 0" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 10 0 0 255 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "R3 Font 2" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Courier" 1 10 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Normal " -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 259 "" 0 "" {TEXT 257 25 "Moderne Physik mit Mapl e " }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT 258 9 "PDF-Buch " }{URLLINK 17 "Moderne \+ Physik mit Maple" 4 "http://mikomma.de/fh/modphys.pdf" "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Update auf Maple 10" }}{PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Kapitel 3.2." }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Worksheet wellen1_10.mws" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "c International Thomson Publishing Bonn 1995 filename: wellen1" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Autor: Komma \+ Datum: Juli 94 " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "Thema: Wellen, Wellengleichung" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "EINDIMENSIONAL" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 212 "Standardzugang: \"Welle = Schwingungen mit ortsabh\344ng iger Phase, r\344umlich und zeitlich periodischer Vorgang, Energietran sport ohne Massentransport. Also, wie schon in oszi.ms und mit der We llenl\344nge lambda=2Pi/k:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "restart; with(plots):opt2d:=NULL:opt3d:=NULL:" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "y:=(x,t)->y0*cos(k*x-omega*t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Mit der zum Ort proportionalen Phase phi= k*x" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "y0:=2: k:=2: omega:= 3.5:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "animate(y(x,t),x=0. .6,t=0..1.9*Pi/omega,frames=20,numpoints=200);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 423 "Sehen Sie eine horizontale oder eine vertikale Bewegung? Das h\344ngt davon ab, wo und wie man hinschaut. Wenn man mit einem Blatt Papier das Bil d bis auf die y-Achse abdeckt, sieht man eine vertikale Schwingung, we nn man horizontal bis fast zur H\366he y0 abdeckt, laufen Berge mit ko nstanter Geschwindigkeit. Aber das l\344\337t sich nat\374rlich auch \+ \"programmieren\" (Sie k\366nnen die beiden n\344chsten Animationen si multan laufen lassen):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 " animate(y(x,t),x=0..0.05,t=0..1.9*Pi/omega,frames=20,numpoints=200,sca ling=constrained,color=black);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 "animate(0.02*y( x,t),x=0..6,t=0..1.9*Pi/omega,frames=20,numpoints=200,scaling=constrai ned,color=red);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 221 "Anstelle eines Blattes Papier kan n man auch eine vertikale Blende nehmen. Durch ortsfeste Blenden sieht man die Schwingung eines Teilchens. Wie programmiert man eine ortsfes te Blende an der Stelle x0 mit der Breite delta?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "Blende:=(x0,delta)->(Heaviside(x-x0)-Heavisid e(x-(x0+delta)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "#y0:=' y0': k:='k': omega:='omega':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "Teilchen1:=Blende(2, 0.08)*y(x,t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "Teilchen2:=Blende(3, 0.08)*y(x,t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "#y0:=2: k:=2: omega:=3.5:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 98 "animate(\{Teilchen1,Teilchen2,y(x,t )\},x=0..6,t=0..1.9*Pi/omega,frames=20,numpoints=200,color=blue);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Mit welcher Geschwindigkeit laufen die Berge? Das Argume nt der Winkelfunktion mu\337 konstant sein: k*x-omega*t=const oder x=c onst/k+omega/k*t = x0 + c*t." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "Phase1:=Blende(omega/k*t, 0.08)*y(x,t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 105 "animate(\{Teilchen1,Teilchen2,Phase1,y(x,t)\} ,x=0..6,t=0..1.9*Pi/omega,frames=20,numpoints=200,color=blue);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 637 "Teilchen oder Welle? Das Teilchen schwingt, der Zustand \+ (gr. Phase) bewegt sich gleichf\366rmig. Das ist neu, da\337 sich etwa s Immaterielles bewegt. Wie lautet die Bewegungsgleichung f\374r diese n Vorgang? Die Bewegungsgleichung f\374r einen Massenpunkt kennen wir, es ist die Schwingungsgleichung y''(t) =-omega^2*y(t) an einem Ort, d .h. die Ableitung ist partiell zu nehmen. Nur da\337 wir jetzt wegen d er ortsabh\344ngigen Phase unendlich viele solcher Schwingungsgleichun gen haben, zwichen denen aber ein Zusammenhang besteht, wenn man x als Variable ansieht: y''(x)=-k^2*y(x) zu einer Zeit. Es ist also y''(t) \+ ~ y(x,t) ~ y''(x) oder y''(t) ~ y''(x):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "y0:='y0': k:='k': omega:='omega':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "wgl:=diff(y(x,t),t$2)=const*diff(y(x,t),x$2 );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "solve(%,const);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 148 "Wir haben aber omega/k schon als Phasengeschwindigkeit c identifiziert, also gilt mit const=c^2 die partielle DG 2.Ordnung in \+ den Variablen x und t:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "y: ='y':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "wgl:=diff(y(x,t),t $2)=c^2*diff(y(x,t),x$2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 325 "Nachdem wir nun \"die Welle ngleichung\" aus einer L\366sung konstruiert haben, k\366nnen wir vers uchen, Maple diese Gleichung l\366sen zu lassen. Denn die Konstruktion ist ja nicht zwingend -- es kann zu der gefundenen Gleichung noch and ere L\366sungen geben, genauso wie es zu \"unserer L\366sung\" noch an dere Bewegungsgleichungen geben kann." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "pdsolve (wgl,y(x,t));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Etwas ausf\374hr licher:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 689 "Dazu m\374ssen wir einen Weg \+ finden, von der partiellen DG zur gew\366hnlichen DG zu kommen, d.h. e s darf nur eine unabh\344ngige Variable auftauchen. Der Schl\374ssel d azu liegt in dem Ansatz, den wir schon oben gemacht haben. Wir zerlege n nach dem Motto y''(t) ~ y ~ y''(x) die Wellengleichung wieder in zwe i Gleichungen yt''(t)=const und yx''(x)=const, wobei die Funktionen yt und yx jeweils nur von der einen Variablen t bzw. x abh\344ngen. Die \+ Funktion y(x,t) sollte also so gebaut sein, da\337 bei den partiellen \+ Ableitungen nach der einen Variablen jeweils die unerw\374nschten Teil e der Funktion verschwinden. Das geht sicher, wenn wir y(x,t) als Summ e schreiben und folgenden Separationsansatz machen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "y:='y':yt:='yt':yx:='yx':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "y:=(x,t)->yt(t)+yx(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Einsetzen in die Wellengleichung:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "wgl;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Kann Mapl e *diese* Gleichung l\366sen?" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "dsolve(wgl,\{yt(t),yx(x)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "pdsolve(wgl,yt(t));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Also m\374sse n wir von Hand weiterrechnen:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "dglt:=lhs(wgl)=const;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "dglx:=rhs(wgl)=const;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 159 "Auch im System akzeptiert M aple nicht mehr als eine unabh\344ngige Variable, wir k\366nnen jetzt \+ aber die beiden gew\366hnlichen Differentialgleichungen getrennt l\366 sen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solt:=dsolve(\{dglt \},\{yt(t)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solx:=dso lve(\{dglx\},\{yx(x)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "Das \+ entspricht zwar nicht unseren Erwartungen (Schwingung), aber es ist ei ne L\366sung der Wellengleichung!" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "assign(solt,solx); 'y(x,t)'=y(x,t); wgl;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Aber wir k\366nnen einen anderen Separati onsansatz machen und y(x,t) als Produkt schreiben." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 123 "t:='t':y:='y':y1:=' y1': y2:='y2': const:='const':\nc:='c':wgl:=diff(y(x,t),t$2)=c^2*diff( y(x,t),x$2):_C1:='_C1': _C2:='_C2':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "y:=(x,t)->y1(x)*y2(t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "wgl;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Noch etwa s sortieren:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "wgl:=wgl/(y 1(x)*y2(t));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 199 "Diese Gleichung ist erf\374llt, wenn bei de Seiten ein und derselben Konstanten gleich sind (die explizite L \366sung ist von Maple nur zu erhalten, wenn man die DGn vorher noch m it y1 bzw. y2 multipliziert)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dglt:=(lhs(wgl)=const)*y2(t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "#dglt:=(lhs(wgl)=const);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "dglx: =(rhs(wgl)=const)*y1(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solt:=dsolve(\{dglt\},\{y2(t)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "In Release 5 cosh, sinh statt exp." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 24 "\334berfl\374ssig in Maple > 6" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "#convert(solt,exp);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "In fr\374here n Releases wurden noch folgende L\366sungen vorgeschlagen - nun auch w ieder in Maple 10...:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "y2 alt:=t->_C1*exp(sqrt(const)*t)+_C2*1/exp(sqrt(const)*t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "y1alt:=x->_C1*exp(sqrt(const)*x)+_C 2*1/exp(sqrt(const)*x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " solx:=dsolve(\{dglx\},\{y1(x)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "assign(solt,solx);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "y1:=unapply(y1(x),x);y2:=unapply(y2(t),t);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "simplify(wgl);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 410 "Auch das sind also L\366sungen der Wellengleichung. Wir wollen uns diese L\366sungen anschauen. Damit sich die gewohnten Wellen erge ben, mu\337 const<0 sein und wir stellen den Realteil einer L\366sung \+ \374ber x und t dar. Wenn wir nur eine der beiden Integrationskonstant en von 0 verschieden w\344hlen, bekommen wir eine \"nach links\" (zu k leineren x-Werten) laufende Welle und k\366nnen die Momentanbilder in \+ t-Richtung aufreihen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Mit den 'alten L\366sungen':" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "y:=(x,t)->y1alt(x)*y2alt(t) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "y(x,t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "_C1:=0: _C2:=1: const:=-20: c:=1/2:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "plot3d(evalc(Re(y(x,t))),x=0..1,t=0..1,axes=boxed) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "Aber nat\374rlich ... auch laufen lassen und mit den _C's spielen" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "_C1:=0:_C2 :=1:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "animate(evalc(Re(y(x,t))),x=0..1,t=0..2*Pi/ sqrt(abs(const)),frames=20);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 2 "" 0 "" {TEXT -1 1 "\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 365 "Auch der Parameter const, der f\374r die Frequenz oder d ie Wellenl\344nge steht, kann ver\344ndert werden. Wenn man z.B. die Z eit festh\344lt (y(x,'t') mu\337 dann mit 't' aufgerufen werden), hat \+ man eine Achse f\374r den Parameter frei und kann -- einmal mehr -- de n \334bergang von der Periodizit\344t zu aperiodischen Vorg\344ngen ze igen. Und das sind alles L\366sungen der \"Wellengleichung\"." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "t:=0:const:='const':" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "pspl(`p1well1.ps`):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "plot3d(evalc(Re(y(x,'t'))),x=0..1,c onst=-20..5);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 246 "Gerade hier lohnt sich wieder die Animation, und man sollte sich die Zeit und den Speicherplatz (ca. 3M B) nehmen und den Plot auf volle Bildgr\366\337e stellen aber auch den Stil der Darstellung \344ndern (z.B. contour), denn es gibt eine Meng e zu sehen. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "t:='t':_C 1:=0: _C2:=1:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 104 "animate3d (evalc(Re(y(x,'t'))),x=-1..1,const=-25..5,t=0..1,frames=15,axes=boxed, view=-1..3,style=hidden);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 951 "In (negative) x-Richtung laufen Wellen mit ein und \+ derselben Geschwindigkeit (c), deren Wellenl\344nge f\374r const -> 0 \+ unendlich gro\337 wird. Bei const=0 haben wir den \"aperiodischen Gren zfall\" mit der Frequenz 0 -- es ist keine Bewegung zu sehen. F\374r c onst>0 wird die Exponentialfunktion in x-Richtung verschoben. Eine unp hysikalische L\366sung der Wellengleichung? Nein, nur eine exponentiel l abklingende Auslenkung zu einem bestimmten Startwert und mit verschi edenen \"Zerfallskonstanten\" ... man kann ja wieder den Blick auf ein Teilchen fixieren. Man kann aber auch die Parameterachse als Orientie rung nehmen. Dort laufen Wellen mit abnehmender Wellenl\344nge in Rich tung const=0 und dar\374ber hinaus: Schwingungen verwandeln sich in ab klingende Vorg\344nge. Wenn wir uns vorstellen, da\337 sich der Parame ter l\344ngs einer realen r\344umlichen Dimension linear \344ndert, se hen wir den \"Tunneleffekt\" .. und die 4.Dimension sehen wir indirekt -- eben weil die Bilder laufen." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "#y:=(x,t)->y0*e xp(I*(k*x-omega*t));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "#wgl;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#simplify(\");" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "#solve(\",c);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "#simplify(\{\"\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "#with(student):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "#yx:=makeproc(rhs(solx),x); yt:=makeproc(rhs(solt),t) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "#yw:=yx(x)*yt(t);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "#yw:=combine(yw,power);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "#evalc(yw);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "#plot3d(Re(yw),x=0..1,t=0..1);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 379 "Bei unserem ersten Versuch, die Wellengleichung durch ei ne Summe von Funktionen zu separieren, haben wir gesehen, da\337 auch \+ ganz einfache Parabeln L\366sung der Wellengleichung sind. Sie m\374ss en sich nur mit der Geschwindigkeit c \"bewegen\". L\344\337t sich das verallgemeinern, ist also jede Funktion f(x,t), die eine Verschiebung darstellt, L\366sung der Wellengleichung? Wenn ja, dann m\374\337te \+ " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "#restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "f:='f': y:='y': c:='c':t:='t':" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "y:=(x,t)->f(x-c*t);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "die Wellengleichung l\366sen, die \+ wir mit der " 0 " " {MPLTEXT 1 0 43 "wgl:=Diff(y(x,t),t$2)=c^2*Diff(y(x,t),x$2);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 113 "und dann mit " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "value(wgl);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 963 "D^(2) bedeutet die \344u\337ere Ableitung (nach (x-c*t) \+ in diesem Fall). Also ist jede Funktion von a*x+b*t L\366sung der Well engleichung (mit c^2=b^2/a^2). Nachdem \374ber die Vorzeichen keine Vo raussetzungen gemacht sind, bzw. c quadratisch vorkommt, bedeutet das \+ auch, da\337 die Richtung der Verschiebung nicht festgelegt ist: x^2=c ^2*t^2 ist eine bessere Charakterisierung des Vorganges als x=c*t. In \+ der Theorie der partiellen Differentialgleichungen spricht man von den Charakteristiken der PDG (BS476,490). In diesem Fall sind das (ins R \344umliche \374bertragen) die Fl\344chen gleicher Phase oder Wellenfr onten, auf die wir noch \366fter zur\374ckkommen werden. An dieser Ste lle ist es aber wichtig festzuhalten, da\337 \"alles was sich gleichf \366rmig bewegt\" als L\366sung der Wellengleichung aufgefa\337t werde n kann -- um es einmal ein bi\337chen provokant zu formulieren -- z.B. auch ein starrer K\366rper, etwa ein Block der L\344nge a und der H \366he 1, den wir als Blende schon zur Verf\374gung haben: " }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "Blende:=(x0,delta)->(Heavisi de(x-x0)-Heaviside(x-(x0+delta)));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "Block:=Blende(c*t,a);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "a:=2:c:=1/2:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "animate(Block(x,t),x=-5..5,t=-4..4,frames=20);#,numpoints=200); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "a:='a': c:='c':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "y:=(x,t)->Block;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "wgl:=diff(y(x,t),t$2)=c^2*diff(y(x,t),x$2);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 333 "Wenn auch nicht sofort verst\344ndlich sein mag, was da \+ steht: die linke Seite ist gleich der rechten Seite und ... Maple kann mit diesen Funktionen umgehen (die Dirac-Funktion ist die Ableitung d er Heaviside-Funktion und " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "c:='c':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "y:='y':wgl:=diff(y(x,t),t$2)=c^2*di ff(y(x,t),x$2):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "f:='f':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "y:=(x,t)->f(x-c*t);#+f(x+ c*t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "f:=u->u^3-50*u;" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "#f:=sin;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "#f:=tan: " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "#f:=ln:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 " #f:=w->(w-w^3)/(w^4+0.1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "f:=z->exp(-z^2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "wgl ;simplify(lhs(wgl)-rhs(wgl));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 222 "Aber man kann mit Maple eben nicht \"nur\" mit beliebig vielen speziellen Beispielen testen, \+ ob das, was man vorher mit Maple in allgemeiner Form bewiesen hat auch zutrifft, man kann sich auch ein bewegtes Bild davon machen." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "c:=1/2:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "animate(y(x,t),x=-5..5,t=-5..10,frames=20,col or=red);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 259 "Und wenn man mit diesen Bildern spielt, \+ stellt man bald fest, da\337 die Wellengleichung eigentlich Verschiebu ngsgleichung hei\337en m\374\337te. Es ist die allgemeinste Form einer Gleichung, die eine gleichf\366rmige Bewegung beschreibt. Aber was be wegt sich nun wirklich? " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1316 "Nach der Sc huldefinition ist die Welle ein zeitlich und r\344umlich periodischer \+ Vorgang, bei dem Energie aber keine Masse transportiert wird. Von der \+ Periodizit\344t haben wir schon Abschied genommen und Masse und Energi e sind \344quivalent, d.h. es bleibt nichts \374brig von dieser Defini tion. Nur ein Zusatz, den man manchmal macht, bleibt \374brig: \"zwisc hen den einzelnen Punkten herrscht eine feste Phasenbeziehung\". Aber \+ das ist gerade die Beziehung der gleichf\366rmigen Bewegung ... von ET WAS. Es ist nicht mehr der einzelne Massenpunkt der Newtonschen Mechan ik, es mu\337 nicht die Kontur eines starren K\366rpers sein, nicht ei ne Feldst\344rke oder eine Temperatur - es mu\337 nicht schwingen: es \+ mu\337 nur ETWAS sein. Die Wellengleichung beschreibt die Bewegung von Information. Jetzt ist etwas da, jetzt ist es dort oder einfach nicht mehr da. Das Sein oder Nichtsein (Vorhandensein oder Nichtvorhandense in) wird aber auf eine indirekte Art beschrieben. (Viel da wenig da?) \+ Sie k\366nnen das dadurch testen, da\337 Sie zwei in entgegengesetzte \+ Richtung laufende Informationen \374berlagern, also das assignment von y:=f(x-c*t) in y:=f(x-c*t)+f(x+c*t) \344ndern. Je nach Funktion l \344uft dann noch etwas oder es entsteht und verschwindet (manchmal na t\374rlich auch periodisch). Sollten wir also die Wellengleichung nich t Informationsgleichung taufen?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 166 "Bevor wi r aber den Fragen zu \"der Wellengleichung\" noch weiter nachgehen, wo llen wir die Fragestellung an sich noch erweitern: gibt es nur diese e ine Wellengleichung?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 43 "Als Forderung wieder die Verschiebung, also" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "f:='f':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 42 "y:=(x,t)->f(k*x-omega*t);#+f(k*x+omega*t);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "Bei der Schwingungsgleichung komm t man im Prinzip mit einer DG 1.Ordng. aus. Reicht also eine PDG 1.Ord nung? " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "testgl:=diff(y(x, t),t) = const*diff(y(x,t),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "solve(testgl,const);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 264 "Das w\344re (f\374r passe ndes omega und k) die gleiche Konstante wie oben, allerdings spielt nu n das Vorzeichen von k eine Rolle, bzw. f\374r f(+-) m\374\337te die D ifferenz der Ableitung gleich der Summe der Ableitung sein. Das sind E inschr\344nkungen auf nicht isotrope Vorg\344nge. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Reicht die erste Ableitung in einer Variablen, z.B. t?" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "y:='y':f:='f':" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "sgl:=diff(y(x,t),t) = const*diff(di ff(y(x,t),x),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "y:=(x,t )->f(k*x-omega*t);#+f(k*x+omega*t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "sgl;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "sol ve(sgl,const);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 462 "Das bedeutet eine Einschr\344nkun g auf Funktionen mit f'' ~ f', also Exponentialfunktionen, aus denen s ich aber einiges zusammensetzen l\344\337t [siehe Fourier]. Diesmal m \374\337te omega/k^2=const sein, was sicher m\366glich ist -- verglich en mit omega/k=const. Und es kommt auf das Vorzeichen von k nicht an, \+ die Isotropie ist gew\344hrleistet. Aber es wird eine Richtung der Zei t ausgezeichnet (bzw. die sgl mu\337 je Zeitrichtung anders geschriebe n werden ... sgl ist NR -> psi+-)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Tre iben wir ein bi\337chen experimentelle Mathematik, es kostet ja nichts :" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "f:=u->u^3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "#f:=exp:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " #f:=cos:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "solve(sgl,const );" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 193 "Polynome kommen als L\366sung dieser \"reduzierte n DG\" nicht in Frage, einfache trigonometrische Funktionen auch nicht . Exponentialfunktionen schon. Aber da gibt es doch eine Verbindung ex p-sincos:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "f:=u->exp(I*u) : sgl;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "solve(sgl,const); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#simplify(%);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 289 "Wenn wir also die Schwingung -- u nd damit die Superposition von Schwingungen -- ins Spiel bringen wolle n, geht das bei dieser sgl nur, wenn wir es komplex formulieren. Diese Gleichung beschreibt aber in jedem Fall Diffusionsvorg\344nge, aperio dische, inkoh\344rente, wenn man im Reellen bleibt. " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 48 "WICHTIG: exp-Fkt.: 1.) Diffusion 2.) Schwingung!" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "# y:=(x,t)->f(k*x-omega*t);#+f(k*x+omega*t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "Die andere Variante (2.Ableitung nach der Zeit, 1.Ableitu ng nach dem Ort):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "f:='f': " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "xgl:=diff(y(x,t),t$2) = const*diff(y(x,t),x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "s olve(xgl,const);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "f:=u->e xp(I*u):xgl;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "solve(xgl,c onst);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "#simplify(%);" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 223 "Liefert wieder Anisotropie und als Proportionalit\344tsk onstante eine Beschleunigung bzw. Kraft (im Gegensatz zur Schr\366ding ergleichung, wo die Konstante eine Wirkung ist, bzw. Wirkung /Masse). \+ Das w\344ren also \"Kraftwellen\" ..." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "komma@oe.uni- tuebingen.de" }}}}{MARK "0 0 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 } {PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }