Computer-Algebra-Systeme (CAS) an der Schule

1. Entstehungsgeschichte und Trend

Die Entwicklung von CAS geht bis in die vierziger Jahre zurück, als man kleinere Systeme zur Lösung spezieller Probleme einsetzte. Der eigentliche Aufschwung setzte aber erst ein, als man in der theoretischen Physik dazu überging, Formeln von Computern symbolisch bearbeiten zu lassen. Man sah sich zu diesem Schritt gezwungen, weil Terme, die sich über 50 oder mehr DIN-A4 Seiten erstrecken, ‘von Hand’ einfach nicht mehr zu bewältigen sind. Mit REDUCE, einem frühen CAS aus dieser Zeit, konnten (und können) die Formeln aber nicht nur manipuliert werden, sie konnten auch erzeugt werden. Nach Angabe z.B. der Reaktionskanäle bei einer Teilchenkollision (Feynmangraphen) erledigt REDUCE das Tensorkalkül und liefert einen FORTRAN-Code zur numerischen Berechnung des Wirkungsquerschnitts (Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reaktion).
Das Wort ‘Algebra’ in CAS meint also die algorithmische Behandlung symbolischer algebraischer Ausdrücke, die zur Lösung von Gleichungen - oder allgemeiner von algebraischen Aufgabenstellungen - notwendig sind. Diese Algorithmen bilden aber z.B. auch die Grundlage für Operationen der Infinitesimalrechnung, für die symbolische (geschlossene) Lösung von Differentialgleichungen oder für die Behandlung geometrischer Fragestellungen: alles, was sich durch einen Algorithmus beschreiben läßt, kann im Prinzip in ein CAS implementiert werden. Man ist heute sogar schon soweit, daß Beweise mit einem CAS geführt werden können. Weil ein CAS aber auch numerisch rechnen kann, übernimmt es somit die drei wichtigsten Aufgaben der Mathematik (stark vereinfacht aus B. Buchberger et al., A Survey of the Theorema Project).

1. Computer: Ein Rechner setzt in einen Term Werte ein und berechnet das Ergebnis.
2. Solver: Ein Löser erzeugt alle Werte einer Variablen, für die eine bestimmte Beziehung gültig ist.
3. Prover: Ein Beweiser entscheidet, ob für alle Variablen (einer gewissen Menge) eine bestimmte Beziehung gilt.

Diese Entwicklung der CASe wurde natürlich erst durch die Entwicklung der Hardware ermöglicht und wird durch letztere immer noch stark beschleunigt, denn ein CAS braucht immer eine Wissensbasis, in der Daten und Algorithmen stehen, und diese Wissensbasis braucht Speicherplatz und die Abarbeitung der Algorithmen benötigt Rechenzeit. Die heutigen CASe sind aber sicher schon eine Vorstufe zur künstlichen Intelligenz und finden eine immer breitere Anwendung. Ausgehend von speziellen Problemstellungen der Forschung haben sie sich inzwischen in der universitären Lehre in fast allen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften etabliert und stehen nun an der Schwelle der Schulen. Dies ist auch darauf zurückzuführen, daß ein modernes CAS nicht mehr nur von Spezialisten bedient werden kann, sondern sogar von einem 8.-Klässler. Und nachdem Computer-Algebra längst ein eigenes großes Forschungsgebiet geworden ist und Weltfirmen sich im Jahreszyklus mit ihren Innovationen gegenseitig übertreffen, ist abzusehen, daß ein CAS bald an den Schulen mit der gleichen Selbstverständlichkeit eingesetzt werden wird wie ein Taschenrechner (und vor ihm der Rechenschieber).
Allerdings mit einem entscheidenden Unterschied: Ein CAS ist kein ‘Rechenknecht’ wie der Taschenrechner, sondern es löst alle in der Schulmathematik vorkommenden Fragestellungen symbolisch. Sobald man ihm den Lösungsalgorithmus bekannt gemacht hat (wenn er nicht schon intern vorhanden ist), kann es alle Probleme des gleichen Typs aber auch Variationen davon auf Knopfdruck lösen. Aber eben diese Fähigkeit eines CAS zur Lösung mathematischer Probleme wirft gewaltige didaktische Probleme auf, die häufig unter dem Stichwort ‘wie viel Termumformung braucht der Mensch?’ zusammengefaßt werden. Im Vergleich zur Einführung des Taschenrechners bedeutet die Einführung von CAS eine Revolution, die fast den ganzen bisherigen Mathematikunterricht in Frage stellt, von den Inhalten bis hin zu den Arbeitsformen. Schon ein kurzer Besuch bei einer der folgenden Adressen läßt erahnen, welche Reichweite diese Revolution haben wird:

Computeralgebra in Deutschland
Research Group for Symbolic Computation, Prof. Dr. Wolfgang Küchlin, Universität Tübingen
Research Institute for Symbolic Computation (RISC-Linz)
Computer Algebra Information Network (CAIN)

2. Merkmale eines modernen CAS

Kennzeichnend für ein modernes CAS ist, daß es alle unten aufgeführten Merkmale in sich vereint: Es ist ein Allzweckwerkzeug mit hoher Bedienungsfreundlichkeit und Zuverlässigkeit, das überdies im Vergleich zu Programmen, die nur für spezielle Handhabungen geeignet sind (wie z.B. Funktionsplotter) sehr preisgünstig angeboten wird (inklusive Support und Weiterentwicklung).

• Symbolisches Rechnen: Das Hauptmerkmal eines CAS ist die Fähigkeit zum symbolischen Rechnen. Das ermöglicht übrigens auch numerisches Rechnen mit nur durch den Speicher und die Rechenzeit begrenzter Stellenzahl. Für die Schulmathematik bedeutet das im Einzelnen (es werden nur die wichtigsten Punkte aufgezählt):
  • Termumformung: Algebraisch (auch komplex): Vereinfachung (nach verschiedenen Kriterien), Ausmultiplizieren, Faktorisieren, interaktives Bearbeiten (mit der Maus), Sortieren. Trigonometrisch und transzendent: alle Identitäten/Substitutionen.
  • Lösen von Gleichungen: Algebraische Gleichungen und Gleichungssysteme soweit lösbar. Trigonometrische und transzendente Gleichungen in speziellen Fällen, numerische Lösungen in jedem Fall. Test auf Identität (und Mustererkennung).
  • Funktionen: Alle gängigen Funktionen sind vordefiniert. Der Benutzer kann eigene Funktionen definieren. Berechnung von Funktionswerten. Umkehrfunktionen. Stückweise definierte Funktionen. Funktionen als Operatoren (mit eigenem Definitionsbereich).
  • Infinitesimalrechnung:
    • Folgen: Bildung von Folgen. Iterative und rekursive Folgen. Lösung von Differenzengleichungen.
    • Reihen: Identitäten für endliche Reihen. Reihenentwicklung.
    • Grenzwerte: Für große Werte von x (die ‘gesamte Asymptotik’). Für die Annäherung an einen Punkt (links- und rechtsseitig).
    • Differentiation: Alle Ableitungsregeln (partiell und total)
    • Integration: Alle Integrationsregeln. Uneigentliche Integrale.
    • Differentialgleichungen: Gewöhnliche und partielle. Systeme. Geschlossene und numerische Lösungen. Werkzeuge zur graphischen Darstellung (Felder, Phasendiagramme...).
  • Geometrie: Behandlung von geometrischen Objekten (zwei- und dreidimensional) wie Punkt, Gerade, Ebene, Kugel. Zugehörige Gleichungen und graphische Darstellung.
  • Vektorrechnung: Alle Operationen
  • Stochastik: Alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit allen erforderlichen Operationen. Beurteilende Statistik (Tests).

Anmerkung: Man könnte ein modernes CAS auch als ein elektronisches Mathematikbuch bezeichnen, das weit mehr als die Schulmathematik abdeckt. Deswegen wurde die Aufzählung ab dem Punkt Geometrie nicht mehr weiter aufgeschlüsselt. Manche Anwender werden von der Fülle der Möglichkeiten abgeschreckt und neigen zu kleineren Systemen. Dies hat sicher auch seine Berechtigung, siehe Einsatz im alltäglichen Unterricht und Bewertung. Bei der Vorstellung und Einschätzung der heutigen CASe ist es aber unumgänglich, deutlich auf das riesige Potential dieses universellen Werkzeugs hinzuweisen, das bei den immer kürzer werdenden Soft- und Hardwarezyklen (und der harten Konkurrenz) schon bald jedem zur Verfügung stehen wird. Dazu kommt, daß sich gerade die größeren CASe nach Belieben so einstellen lassen, wie es die jeweilige Situation (im Unterricht) erfordert. Durch Aus- und Einblenden von Befehlen und Hilfestellungen oder Kapselungen mit verschiedener Tiefe kann eine vollständige Lernumgebung geschaffen werden, die den jeweiligen Erfordernissen angepaßt werden kann: CBT.

• Graphik: Parallel zur ursprünglichen Intention (symbolisches Rechnen), die man mit CAS anstrebte, hat man durch die rasante Entwicklung der Hardware die großartigen Möglichkeiten des Computers bei der Visualisierung vorangetrieben, so daß die graphischen Fähigkeiten eines CAS nun weit über die eines ‘Funktionsplotters’ hinausreichen:
  • 2D: Darstellung von Funktionen und Scharen von Funktionen (farbig und mit einstellbarer Linienart, Beschriftung...). Parametrische Plots (algebraische Kurven, Phasendiagramme). Plots in den verschiedensten Koordinatensystemen. Implizite Plots (die Angabe einer Gleichung genügt). Vektorfelder (DGLn). Ablesen von Koordinaten.
  • 3D: Alle Optionen aus 2D. Verschiedene Perspektiven und Beleuchtungen von Flächen im Raum. Gitterlinien, Hidden Lines, gefüllte Flächen, Höhenlinien, Dichteplots.
  • Animationen: 2D und 3D. Schrittweises Abtasten von Kurven- und Flächenscharen, kontinuierlicher Film, zyklische Bewegungen: Damit wird die vierte Dimension (Zeit) sichtbar gemacht.
  • Graphische Objekte: Parallel zu den geometrischen Objekten werden in Bibliotheken Standardobjekte angeboten und die Programmierung eigener Objekte ist möglich.

Anmerkung: Die Graphik oder allgemeiner die Visualisierung hat sich inzwischen schon fast zum zweiten Standbein der CA entwickelt und nimmt eine tragende Rolle bei der Heuristik und experimentellen Mathematik ein, sowohl in der Forschung als auch in der Lehre. Dazu kommen in immer stärkerem Maße die Möglichkeiten von Multimedia, insbesondere Sound und die Verknüpfung zu anderen Anwendungen und Schnittstellen zu Meßgeräten.

• Programmierung: Ein größeres CAS bietet alle Möglichkeiten der Programmierung. Der wichtige Unterschied zu Compiler-Sprachen ist, daß die Befehle in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden können. Eine Art Compilierung ist jedoch auch möglich, indem Befehle eines Arbeitsblattes ausgeführt werden und das Arbeitsblatt dann in einem systemeigenen Code abgespeichert wird. Nach dem Laden dieser Datei stehen dann sofort die Ergebnisse aller ausgeführten Befehle zur Verfügung.
  • Datentypen: Einfache Variable, Felder, Listen, Mengen und weitere systemeigene Typen.
  • Prozeduren: Neben den Funktionen gibt es eine Vielfalt von Möglichkeiten durch Prozeduren mit lokalen und globalen Variablen die Bibliothek des Systems zu erweitern. Typischer CAS-Vorteil gegenüber einer Compilersprache: Die Prozeduren können interaktiv schrittweise aufgebaut und bearbeitet werden. Meistens gibt es die Möglichkeit, die Prozeduren auch in andere Sprachen übersetzen zu lassen.
  • Verzweigungen: Gehören zum CAS-Standard.
  • Schleifen: Alle typischen Konstruktionen. Laufbereiche mit eigenen Typen (z.B. Mengen) möglich. Interaktives Arbeiten (z.B. Abbruch einer Endlosschleife).
  • Logik: Alle Booleschen Operatoren, Definition eigener Operatoren, sogar Prädikatenlogik: Beweise

Anmerkung: Die Programmierung ist natürlich die Domäne eines CAS, das von Algorithmen lebt. Das Gefälle ‘reine Mathematik’ - ‘nur Informatik’ wird laufend abgetragen: Computer, Solver, Prover (s.o.). Wichtige didaktische Aspekte sind die ‘Modularisierung’, aber auch die Abstraktion und Begriffsbildung, die durch die experimentelle Mathematik mit einem CAS stark gefördert werden.

• Bibliothek: Das ist die Wissensbasis des CAS. Die Bibliothek des Systems enthält alle Konstanten, vordefinierten Variablen und vor allem die Befehle und Algorithmen, die vom Benutzer verwendet werden können. Meistens baut die Sprache des Systems auf einen Kern auf (der z.B. in C programmiert ist) und es können Programmpakete bei Bedarf hinzugeladen werden. Dazu kommt eine (oft von Benutzern geschriebene) Bibliothek von Anwendungen oder ‘elektronischen Büchern’, die vom Hersteller selbst mit angeboten werden oder im WWW zu erhalten sind - inzwischen auch online direkt aus einer Arbeitssitzung heraus (Client - Server).

• System: Die größeren CASe sind durchweg befehlsorientiert und die Sprachelemente sind dem Benutzer voll zugänglich (bis hin zur Änderung systemeigener Befehle). Es gibt aber auch Systeme, die einen beschränkten Befehlssatz anbieten, der über Buttons erreicht werden kann.
  Offene Systemarchitektur: Der Kern des Systems kann unabhängig vom Benutzer-Interface geladen werden (auch mehrfach und von anderen Anwendungen aus). Unterstützung von OLE.

• Oberfläche / Benutzerschnittstelle: Die meisten CASe arbeiten mit dem sogenannten ‘Arbeitsblatt-Konzept’ (engl.: Worksheet, Notebook...). Eine einfach zu bedienende Benutzeroberfläche ist eines der wichtigsten Kriterien für den Einsatz von CAS in der Schule. Dazu gehört eine klare Strukturierung von Input-, Output-, Text- und Graphikregionen:
  • Input: Hier werden die Befehle eingegeben und können (beliebig oft) ausgeführt und erneut editiert werden. Oft ist auch ‘Inline-Mathematik’ möglich, also die Eingabe und Ausführung eines Befehls im fließenden Text
  • Output: In dieser Region antwortet das System in standardisierter mathematischer Notation. In guten CASen kann Output als Input weiterverwendet werden.
  • Text: Meistens werden alle Möglichkeiten der Textverarbeitung angeboten. Größere CASe werden zu wissenschaftlichen Publikationen verwendet und sind mit Vorlagen für verschiedene Stile ausgestattet (Qualität des Textsatzsystems TeX).
  • Hypertext: Inzwischen können in fast allen CASen Bookmarks und Hyperlinks gesetzt werden, sowohl intern (innerhalb eines Arbeitsblattes oder auf ein anderes Arbeitsblatt) als auch extern auf einen URL im WWW. Das ermöglicht im Prinzip die komplette Vernetzung der Bibliotheken.

Weitere wesentliche Merkmale eines benutzerfreundlichen CAS sind ein gutes Menü, Wekzeugpaletten für häufig wiederkehrende Befehle und Operationen, Kontextmenüs und eine gut strukturierte Hilfe mit aussagekräftigen Beispielen.

• Menü: Neben dem üblichen Menü werden die systemspezifischen Aktionen angeboten, etwa einzelne Befehle, Formatierungen oder Optionen.
• Paletten: Sonderzeichen und Buchstaben für der mathematischen Schriftsatz, häufig benötigte Befehle oder Schablonen (z.B. für Matrizen). In einem größeren CAS können die Paletten vom Anwender selbst zusammengestellt werden.
• Kontextmenüs: Oft ist es möglich, Aktionen wie z.B. Termvereinfachung oder Plot eines ausgewählten Terms etwa über die rechte Maustaste auszulösen, wobei die angebotenen Menüs kontextsensitiv sind und auch vom Anwender selbst eingerichtet werden können.
• Hilfe: Es haben sich Hilfebrowser eingebürgert, die in größeren CASen schon zu kompletten mathematischen Nachschlagewerken angewachsen sind. Ebenso gehört Volltextsuche und kontextsensitive Hilfe zum Standard. Die Beispiele in der Hilfe sind oft eigene Arbeitsblätter und können in das aktuelle Arbeitsblatt kopiert werden. Eigene Hilfeseiten und Beispiele können zur Hilfe hinzugefügt werden (mit Querverweisen). Ein wichtiger Teil der Hilfe sind auch verständliche und detaillierte Fehlermeldungen.

   

   

3. Erfahrungen mit CAS im Unterricht

CA-Kurse in Baden-Württenberg
In Amerika und Kanada hat man schon vor 15 Jahren damit begonnen, Mathematik mit CAS zu unterrichten. Es liegt eine Fülle von (englischem) Unterrichtsmaterial im WWW vor und die Erfahrungen sind ausnahmslos positiv. Seit über drei Jahren laufen in Baden-Württemberg in einem Pilotprojekt CA-Kurse an etwa 40-50 Schulen mit der Zielsetzung , auch in Deutschland den Anschluß an die ‘experimentelle Mathematik’ zu bekommen. Ab dem nächsten Schuljahr werden diese Kurse als reguläre zweistündige Grundkurse zugelassen und zwar mit der folgenden (groben) Stoffverteilung.

1. Kennenlernen des Systems (für die erfolgreiche Arbeit mit CAS muß eine solide Basis geschaffen werden):
a) Das System an sich (Oberfläche und die wichtigsten Befehle).
b) Einfache mathematische Beispiele, die zur weiteren Einarbeitung in das System geeignet sind (Termumformung, Lösen von Gleichungen, Zeichnen von Schaubildern).

2. Themen aus dem konventionellen Mathematikunterricht:
Folgen und Grenzwerte, Kurvendiskussion, Kurvenscharen, Integrale. Aufgaben aus der analytischen Geometrie und Stochastik.

3. Wahlthemen / Projektarbeiten:
Funktionen von mehreren Veränderlichen, Differenzengleichungen, Differentialgleichungen, Reihenentwicklung, Approximation. Themen aus der Chaostheorie. Modellbildung.

CA im laufenden Unterricht
Computer-Algebra-Systeme können auch im laufenden Unterricht eingesetzt werden, sofern die Voraussetzungen (Hard- und Software) dafür gegeben sind. Sie eignen sich zur Demonstration durch den Lehrer (dazu genügt ein PC und ein Display oder ein TV-Interface), als ‘Rechentrainer’ oder zur Kontrolle von Aufgabenlösungen durch den Schüler selbst (im Computerraum), oder für Referate.
Typische Aufgabenstellungen (auch Physik):
Kurvendiskussion, Modellierung, Visualisierung in der analytischen Geometrie, Problemstellungen aus der Mechanik, E-Lehre und Optik. (Gerade in Physik-Kursen wurde das CAS Maple am Isolde-Kurz-Gymnasium in Reutlingen mit großem Gewinn für die Schüler eingesetzt.)

CA im mobilen Klassenzimmer (mit Maple und Notebook)
Als konsequente Fortsetzung der CA-Kurse wurde vor einem Jahr in Baden-Württemberg das Pilotprojekt ‘Mobiles Klassenzimmer’ gestartet. Konsequente Fortsetzung heißt: Der Schüler kann nur dann wirklich experimentelle Mathematik betreiben, wenn ihm das CAS zu jeder Zeit zur Verfügung steht. Es bekamen also zunächst in 4 elften Klassen alle Schüler ein Notebook mit dem CAS Maple. Schon im ersten Jahr hat sich (erwartungsgemäß) gezeigt, daß damit der Mathematikunterricht eine nie dagewesene Eigendynamik bekommt, dies insbesondere dann, wenn man den Schülern den Rollenwechsel ‘vom Konsumenten zum Produzenten’ erlaubt. Ein wichtiger und höchst motivierender Aspekt ist dabei auch die Publikation eigener Arbeitsblätter im WWW. Diese neue Form der Mathematik ist aber nur mit den entsprechenden Arbeitsformen realisierbar: Selbständige Arbeit, Gruppenarbeit, Projekte (mittel- und langfristig). Diese Arbeitsformen erfordern wiederum einen gravierenden Rollenwechsel des Lehrers. Weg vom Frontalunterricht (der zur ‘Lagebesprechung’ aber nach wie vor benötigt wird) und hin zum Moderator und vor allem Planer und Organisator. In der Konsequenz des Ansatzes des ‘Mobilen Klassenzimmers’ entsteht so das ‘Virtuelle Klassenzimmer’, in dem mit den neuen Technologien der Computer als Hauptmedium eingesetzt wird. Diese Konsequenz reicht also von der einfachen Demonstration einer Kurvendiskussion mit CAS durch den Lehrer über die selbständige CAS-gestützte Lösung eines Mathematischen Problems bis hin zur Beurteilung und ‘Leistungsmessung’ der Schüler, die ihre Produkte im Netzwerk abliefern. Natürlich erfordert diese Konsequenz ein eigenes Abitur, das zumindest in Teilen auf dem Computer ‘geschrieben’ wird, auf dem der Schüler seine persönliche Wissensbasis gespeichert hat: ‘Der Spickzettel ist erlaubt!’. Es erfordert aber auch einen immensen Arbeitsaufwand für den Organisator (ehemals Lehrer) - zumindest in der Projektphase.

4. Bewertung einiger Computer-Algebra-Systeme

Dem LEU standen folgende CASe zur Verfügung:

• MapleV Release 4 und 5
• Scientific Notebook
• Mathcad Plus 6.0
• Mathematica V.3.0
• Derive V.4.04 (für Windows, englisch)

Die für die Schule typischen Aufgabenstellungen sind:
Termumformung, Gleichungen lösen, (Grenzwerte), Ableiten und Integrieren, Graphik, Geometrie (Standardaufgaben 2D und 3D), Programmierung/Bibliothek (Modularisierung).
Dazu kommen die allgemeinen Kriterien: Oberfläche, Hilfe und Textverarbeitung.

Termumformung:

Maple V R4: Gut. Alle Befehle vorhanden, Weiterverwendung von Output als Input möglich, Zugriff auf Teil eines Terms mit der Maus.

Maple V R5: Sehr gut. Zusätzlich zu den Befehlen Paletten mit Befehlsschablonen und Kontextmenüs.

Scientific Notebook: Gut. Hat Maple-Kern, aber beschränkten Befehlssatz. Dafür aber Buttons/Menü für Aktionen.

Mathcad Plus 6.0: Gut. Alle notwendigen Befehle vorhanden, Bedienung gewöhnungsbedürftig.

Mathematica V.3.0: Sehr gut. Sehr viele Befehle. Konfigurierbare Paletten.

Derive V.4.04: Befriedigend. Menü mit sechs Befehlen.

 

Gleichungen lösen:

Maple V R4: Sehr gut. Alle Gleichungstypen (auch Differenzen- und Differentialgleichungen) und Gleichungssysteme. Analytisch und numerisch.

Maple V R5: Zusätzlich Kontextmenü

Scientific Notebook: Gut. Maple mit eingeschränktem Befehlssatz.

Mathcad Plus 6.0: Befriedigend. Umständliche Eingabe, Befehle aus Menü, Differentialgleichungen nur numerisch.

Mathematica V.3.0: Sehr gut. Alle Gleichungstypen (auch Differenzen- und Differentialgleichungen) und Gleichungssysteme. Analytisch und numerisch.

Derive V.4.04: Befriedigend. Differentialgleichungen nur eingeschränkt.

 

Ableiten und Integrieren:

Maple V R4: Sehr gut. Auch Befehle für Fortgeschrittene vorhanden. Guter Integrationsalgorithmus. Operatoren.

Maple V R5: Sehr gut: Zusätzlich zu R4 Kontextmenüs und Paletten

Scientific Notebook: Eingeschränkter Befehlssatz aus Maple.

Mathcad Plus 6.0: Befriedigend. Notwendige Befehle vorhanden, Bedienung umständlich.

Mathematica V.3.0: Sehr gut. Differentialrechnung mit voller Funktionalität.

Derive V.4.04: Ausreichend. Das Notwendigste ist vorhanden.

 

Graphik:

Maple V R4: Gut. Plotten in 2D und 3D mit vielen Optionen und in vielen Koordinatensystemen. Die Vielfalt der Befehle will allerdings gelernt sein.

Maple V R5: Sehr gut. Befehle wie in R4. Plot ohne Befehle: mit Drag&Drop und Kontextmenü.

Scientific Notebook: Gut. Eingeschränkter Maple-Befehlssatz, dafür bedienungsfreundlicher als Maple R4.

Mathcad Plus 6.0: Sehr gut. Graphiken für den Ingenieur. Sehr bedienungsfreundlich.

Mathematica V.3.0: Sehr gut. Mathematica ist der Graphik-Standard.

Derive V.4.04: Befriedigend. In der Art von Funktionsplottern. Keine 2D-Animation (3D nur mit Zusatzprogramm). Dafür sehr leichte Handhabung der Plots.

 

Geometrie:

Maple V R4: Gut. Geometrische Objekte (2D) und die zugehörigen graphischen Objekte.

Maple V R5: Sehr gut: Erweiterung auf 3D.

Scientific Notebook: Viele 2D-Beispiele (basierend auf Maple).

Mathcad Plus 6.0: Keine

Mathematica V.3.0: Keine

Derive V.4.04: Keine

 

 

Programmierung/Bibliothek:

Maple V R4: Sehr gut. Leicht erlernbare Sprache. Voll programmierbar, etwa 2000 Bibliotheksfunktionen, freier Zugang zu Anwendungen, die von Benutzern erstellt wurden (share library, auch im Internet).

Maple V R5: Sehr gut. Wie R4, zusätzlich Paletten und Kontextmenüs.

Scientific Notebook: Befriedigend. Die wichtigsten Maple-Befehle.

Mathcad Plus 6.0: Programmierung unbefriedigend, da nur mit Spezialkenntnissen möglich. Bibliothek mit vielen Beispielen und ‘elektronischen Büchern’ aus dem Ingenieurwesen.

Mathematica V.3.0: Sehr gut. Setzt den CAS-Standard. Wohl die größte Bibliothek.

Derive V.4.04: Nur sehr eingeschränkt programmierbar. Keine Bibliothek.

 

 

Bedienung/Oberfläche:

Maple V R4: Gut. Windows-Standard. Worksheet strukturiert in Input, Output, Graphik und Text. Ausgewogene Menüs, kleinere Kontextmenüs, Shortcuts.

Maple V R5: Sehr gut: Zusätzlich zu R4 konfigurierbare Kontextmenüs und Paletten.

Scientific Notebook: Maple V R4 mit Buttons.

Mathcad Plus 6.0: Teilweise umständlich (spezielle Tastenkombinationen).

Mathematica V.3.0: Bestes User-Interface. Zellen mit beliebiger Schachtelungstiefe. (Allerdings sind die in Befehlen häufig vorkommenden eckigen Klammern auf deutscher Tastatur lästig).

Derive V.4.04: Unbefriedigend, kein Windows-Standard.

 

Hilfe:

Maple V R4: Kontextsensitiv. Viele Beispielworksheets, die auch über Links erreicht werden können. Index und Volltextsuche.

Maple V R5: Sehr gut. Wie R 4, zusätzlich Help-Browser aus R3 wieder eingeführt. Umfangreich und gut strukturiert.

Scientific Notebook: Gut. Ähnlich Maple. Beispiele mit Hypertext-Funktionalität

Mathcad Plus 6.0: Gute Hilfe und Benutzerführung, viele ‘Quicksheets’ als Beispiele und Vorlagen.

Mathematica V.3.0: Das gesamte Mathematica-Handbuch mit Index, Volltextsuche, und einer immensen Beispielsammlung.

Derive V.4.04: Im Stile der Windows-Hilfe. Nur sehr wenige Beispiele, die auch nicht ohne weiteres in aktuelle Dateien übernommen werden können.

 

Textverarbeitung:

Maple V R4: Standard Desktop-Publishing. Inline-Mathematik. Definierbare Stile.

Maple V R5: Wie R5 mit Verbesserungen.

Scientific Notebook: TeX-Standard + Maple Inline-Mathematik.

Mathcad Plus 6.0: Standard Desktop-Publishing.

Mathematica V.3.0: Bester Mathematischer Textsatz.

Derive V.4.04: Keine

 

Tabellarische Zusammenfassungen (je CAS).

5. Kurzcharakteristiken

Maple: Das CAS, des den Anforderungen des Mathematikunterrichts an Schulen am nächsten kommt. Leicht erlernbare Sprache. Sehr benienungsfreundlich ist insbesondere R5: Durch die Kontextmenüs und Plots mit Drag&Drop, kommt man auch ganz ohne Befehle aus. Eine für die Schule weitreichende Neuerung sind die Spreadsheets: symbolische Tabellenkalkulation. Maple ist zwar für die Schule ‘überdimensioniert’ wird aber sehr häufig im Ingenieurwesen und an den Universitäten eingesetzt.

Scientific Notebook: Maple-Kern und Textsatz mit TeX. Statt Befehle Buttons, deren Bedeutung aber gelernt sein muß. Das macht das CAS einerseits bedienungsfreundlicher als ein rein befehlsorientiertes, aber die TeX-Dateien sind nicht jedermanns Sache.

Mathcad Plus 6.0: Das CAS für den Ingenieur besitzt zwar hervorragende Graphikfähigkeiten, dafür sind elementare Befehle, die man selbst in der Schule für Minimalprogramme haben sollte, schwer zugänglich. Die Bedienung ist sehr gewöhnungsbedürftig.

Mathematica V.3.0: Das zur Zeit beste CAS wird in erster Linie in der Wissenschaft und Forschung eingesetzt, ist aber für die Schule wohl zu komplex und zu teuer.

Derive V.4.04: Der Mathematik-Assistent Derive wird im Ingenieurwesen und an den Universitäten praktisch nicht eingesetzt und kann nur bedingt mit den mächtigen Universalwerkzeugen Mathematica und Maple verglichen werden. Derive hat aber beim Einsatz in der Schule den Vorteil, daß die wenigen Handgriffe auch schnell erlernt werden können und daß das Programm auch auf älteren Rechnern läuft. Texas Instruments hat zusammen mit den Autoren von Derive eine Version entwickelt, die auf dem TI 92 läuft.

6. Beispiele, Screenshots und Links

Maple V R5

Scientific Notebook

Mathcad Plus 6.0

Mathematica V.3.0

Derive V.4.04