Vergleich der Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik
In der klassischen Mechanik (nicht relativistisch) gilt die Hamilton-Jacobi Gleichung:
(1) (-> EES)
mit der Wirkung (dem Impulspotential) und
.
Für ein Ensemble von Teilchen gilt außerdem die Kontinuitätsgleichung:
(2) (-> MES)
Ist der Ort und der Impuls der Teilchen nicht genau bekannt,
so kann man eine Wahrscheinlichkeitsdichte verwenden mit:
(Normierung) und
(3) (Kontinuität)
Mit der Impulsfluktuation (und der
Impulsunschärfe
) ist dann der Impuls
.
Und man erhält statt (1)
(4)
Die Gleichungen (3) und (4) lassen sich in der Schrödingergleichung
zusammenfassen, wobei gilt:
,
Der Zusatzterm in Gl. (4) wird manchmal als Quantenpotential
bezeichnet und lässt sich mit der Amplitude
kompakter schreiben: [
] =
(Beispiel: harmonischer
Oszillator). Mit
(im Falle einer
Gauß-Verteilung P ist
die Varianz) gilt dann:
als „exakte Unschärferelation“ (siehe M. Hall und M.
Reginatto, Schrödinger equation from an exact uncertainty principle, E-print
quant-ph/0102069, 9.4.2002), aus der
folgt.
Die beiden wichtigsten Unterschiede von Quantenphysik und klassischer Physik sind also zunächst
Punkt 2 beinhaltet ein weiteres Prinzip der Quantenphysik (Zufallspostulat):
Ein Prototyp für die Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik ist die Schrödingergleichung. Aus ihr folgt:
Daraus folgen auch Nichtlokalität und Verschränktheit.
Es bleibt noch ein fünfter Punkt: