Vergleich der Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik
In der klassischen Mechanik (nicht relativistisch) gilt die Hamilton-Jacobi Gleichung:
(1) 
(-> EES)
mit der Wirkung (dem Impulspotential) 
und 
.
Für ein Ensemble von Teilchen gilt außerdem die Kontinuitätsgleichung:
(2) 
(-> MES)
Ist der Ort und der Impuls der Teilchen nicht genau bekannt,
so kann man eine Wahrscheinlichkeitsdichte
verwenden mit:
(Normierung) und
(3) 
(Kontinuität)
Mit der Impulsfluktuation 
(und der
Impulsunschärfe
) ist dann der Impuls 
.
Und man erhält statt (1)
(4) 
Die Gleichungen (3) und (4) lassen sich in der Schrödingergleichung
zusammenfassen, wobei gilt:
, 
Der Zusatzterm in Gl. (4) wird manchmal als Quantenpotential
bezeichnet und lässt sich mit der Amplitude
kompakter schreiben: [
] =
(Beispiel: harmonischer
Oszillator). Mit
(im Falle einer
Gauß-Verteilung P ist
die Varianz) gilt dann:
als „exakte Unschärferelation“ (siehe M. Hall und M.
Reginatto, Schrödinger equation from an exact uncertainty principle, E-print
quant-ph/0102069, 9.4.2002), aus der
folgt.
Die beiden wichtigsten Unterschiede von Quantenphysik und klassischer Physik sind also zunächst
- Eine neue Naturkonstante h und damit ein neues Maß (eine ‚Quantisierung’) von Größen mit der Dimension einer Wirkung, also die Wirkung selbst, aber auch die Produkte Wirkung mal Winkel, Energie mal Zeit, Ort mal Impuls, sowie Bahndrehimpuls und Spin.
- Eine untere Schranke für das Produkt der Unschärfen komplementärer Größen. Die Ableitung von Quantisierungsregeln (oder auch ganzen Quantisierungstheorien) basiert im Wesentlichen auf der Komplementarität.
Punkt 2 beinhaltet ein weiteres Prinzip der Quantenphysik (Zufallspostulat):
- Es gibt den Zufall wirklich (zumindest innerhalb einer Phasenraumzelle mit dem Volumen h). Allerdings ist der Zufall der Quantenphysik nicht zufälliger als der Zufall der klassischen statistischen Physik, man muss nur andere Regeln anwenden, um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen (Superposition s.u.).
Ein Prototyp für die Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik ist die Schrödingergleichung. Aus ihr folgt:
- Die
Entwicklung eines Zustandes ist
a) determiniert und es gilt
b) das Superpositionsprinzip.
Daraus folgen auch Nichtlokalität und Verschränktheit.
Es bleibt noch ein fünfter Punkt:
- Dies ist weder ein Prinzip noch ein Postulat noch eine zweite Bewegungsgleichung der Quantenphysik, sondern ein Problem (der Interpretation?): Man weiß nicht, was die Schrödingergleichung außer Kraft setzt, wenn bei einer Messung aus einer Superposition eine Projektion wird, kann aber die Wahrscheinlichkeit dafür exakt berechnen. Manche sprechen vom Kollaps, manche von vielen Welten. Ein erfolgversprechendes Rezept scheint die Dekohärenz zu sein, wenn man die deterministische Schrödingergleichung über den Zufall mit der kausalen klassischen Physik in Kontakt bringen will.