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Korrespondenzprinzip (Bohr)

Mit der Kopplungskonstanten κ gilt für die Kreisbewegung eines  Elektrons im Coulombfeld: 

Zen := kappa/r^2 = m*r*omega^2 

kappa/r^2 = m*r*omega^2 

Wird der Drehimpuls gequantelt 

Dq := m*r^2*omega = n*`ℏ` 

m*r^2*omega = n*`ℏ` 

so sind nicht mehr alle Bahnen erlaubt: 

op(solve({Zen, Dq}, {r, omega})) 

r = n^2*`ℏ`^2/(kappa*m), omega = m*kappa^2/(n^3*`ℏ`^3) 

Die Frequenz eines Wasserstoffzustandes zur Hauptquantenzahl n ist 

omega := proc (n) options operator, arrow; 1/2*m*kappa^2/(`ℏ`^3*n^2) end proc; -1; 'omega[n]' = omega(n) 

omega[n] = 1/2*m*kappa^2/(`ℏ`^3*n^2) 

In atomaren Einheiten (m, `ℏ`, kappa := 1, 1, 1; -1 ) ist die Frequenz der Überlagerung von zwei Zuständen mit den Quantenzahlen n und n + k: 

omnk := omega(n)-omega(n+k) 

1/2/n^2-1/2/(n+k)^2 

Oder für große Quantenzahlen 

asympt(omnk, n); 1 

k/n^3-3/2*k^2/n^4+2*k^3/n^5+O(1/n^6) 

was der klassischen Umlauffrequenz 1/n3 entspricht (k = 1). 

 

Weshalb ergibt sich bei der Überlagerung von zwei Zuständen die Differenzfrequenz? 

psi = a*exp(I*omega[1]*t)+b*exp(I*omega[2]*t) 

psi = a*exp(I*omega[1]*t)+b*exp(I*omega[2]*t) 

abs(psi)^2 = evalc(abs(rhs(%)))^2 

abs(psi)^2 = (a*cos(omega[1]*t)+b*cos(omega[2]*t))^2+(a*sin(omega[1]*t)+b*sin(omega[2]*t))^2 

combine(%) 

abs(psi)^2 = a^2+2*a*b*cos(omega[1]*t-omega[2]*t)+b^2 

Also eine ganz normale Schwebung?

'Moderne Physik mit Maple'

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