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Der harmonische Oszillator

 

Stationäre Lösung für den harmonischen Oszillator (sigma=1)

 
>    u:=(n,x)->1/sqrt(2^n*n!)*Pi^(-1/4)*HermiteH(n,x)*exp(-x^2/2);

u := proc (n, x) options operator, arrow; 1/sqrt(2^n*n!)/Pi^(1/4)*HermiteH(n,x)*exp(-1/2*x^2) end proc

 
>    E:=n->n+1/2;

E := proc (n) options operator, arrow; n+1/2 end proc

 
>    V:=x->x^2/2;

V := proc (x) options operator, arrow; 1/2*x^2 end proc

 
>   

 
>    plot([u(3,x)+E(3),E(3),V(x)],x=-4..4,color=[red,blue,black]);

[Maple Plot]

 
>   

 
>    plot([u(3,x)^2+E(3),E(3),V(x)],x=-4..4,color=[red,blue,black]);

[Maple Plot]

 
>   

 
>   

Vergleich mit der klassischen Verteilung

 
>    rhoklass:=n->1/(Pi*sqrt((2*E(n)-x^2)));

rhoklass := proc (n) options operator, arrow; 1/(Pi*sqrt(2*E(n)-x^2)) end proc

 
>    int(rhoklass(13),x=0..sqrt(2*E(13)));

1/2

 
>    plot([3*rhoklass(7)+E(7),3*u(7,x)^2+E(7),E(7),V(x)],x=-5..5,0..12,color=[green,red,blue,black],thickness=2);

[Maple Plot]

 
>   

 
>   

Zeitabhängigkeit

 
>    psi:=(n,x,t)->u(n,x)*exp(-I*E(n)*t);

psi := proc (n, x, t) options operator, arrow; u(n,x)*exp(-I*E(n)*t) end proc

 
>    T:=n->2*Pi/E(n);

T := proc (n) options operator, arrow; 2*Pi/E(n) end proc

 
>    display([seq(plot([evalc(Re(psi(3,x,t)))+E(3),E(3),V(x)],x=-4..4,color=[red,black,blue],thickness=2),t=seq(T(3)*i/50,i=0..49))],insequence=true);

[Maple Plot]

Das ist nur die halbe Wahrheit...

 
>    display([seq(spacecurve([x,5*evalc(Im(psi(3,x,t))),5*evalc(Re(psi(3,x,t)))],x=-5..5,axes=frame,numpoints=250,shading=ZHUE,thickness=2),t=seq(T(3)*i/48,i=0..47))],insequence=true);

[Maple Plot]

 
>   

Überlagerung von Zuständen

Grundzustand und erste Oberschwingung mit gleichem Gewicht:

 
>   

[Maple Plot]

 
>   

 
>    display([seq(plot([evalc(abs(psig))^2+Eq,Eq,V(x)],x=-4..4,color=[red,blue,black],thickness=2),t=seq(2*Pi*i/48,i=0..47))],insequence=true);

[Maple Plot]

 
>   

 

Poissonverteilung für kohärente Zustände (Schrödinger)

 
>    lambda:='lambda':

 
>    af:=n->lambda^n/sqrt(n!)*exp(-lambda^2/2);

af := proc (n) options operator, arrow; lambda^n/sqrt(n!)*exp(-1/2*lambda^2) end proc

 
>   

Histogramm

 

[Maple Plot]

 
>   

Paket

 
>    display([seq(plot([Eq,2*psigabs+Eq,V(x)],x=-5..5,0..8,color=[blue,red,black],thickness=[1,2,2]),t=seq(2*Pi*i/96,i=0..95))],insequence=true);

[Maple Plot]

Und hier ist wieder die volle Wahrheit

 
>    display([seq(display([seq(pzeig(xx,t),xx=seq(k,k=seq(j/5,j=-25..25))),spacecurve(psigspace(x,t),x=-5..5,axes=frame,numpoints=250,shading=ZHUE,thickness=2)]),t=seq(4*Pi*i/96,i=0..95))],insequence=true);

[Maple Plot]

 
>   

Ein Zeiger kommt so zustande:

 
>    x:=2.8: t:='t':

 
>    display([seq(display([plot([[0,0],seq(p[i],i=1..nmax)],color=red),plot([p[nmax],[0,0]],color=black)],thickness=2),t=seq(4*Pi*i/96,i=0..95))],insequence=true);

[Maple Plot]

Gewichtete Eigenfunktionen

 
>    x:='x':t:=0:

 
>    plot([seq(av[i]*psiv[i],i=1..nmax)],x=-5..5);

[Maple Plot]

 
>   

 
>    plot([seq(av[i]*psiv[i]+Ev[i],i=1..nmax),V(x),seq(Ev[i],i=1..nmax)],x=-5..5,0..10);

[Maple Plot]

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