Gaußstrahlen
Gaussian Beams

Gaussian beam logo

Mit Gaußstrahlen beschreibt man Strahlenbündel wie z.B. Laserstrahlen, die "sich selbst fokussieren". Mit "Selbstfokussierung" ist dabei nicht das Verhalten von Strahlenbündeln in nichtlinearen Medien gemeint, sondern das Verhalten von (elektromagnetischen) Strahlenbündeln im Vakuum. Im Gegensatz zum "Idealfall" der ebenen Welle bedingt die Änderung der Amplitude in transversaler/radialer Richtung (bei Gaußstrahlen eine Gaußverteilung) auch eine Krümmung der Wellenfronten und Strahlen: Das Bündel konvergiert vor dem Fokus (in der Abbildung unten bei z = 0) und divergiert danach wieder, wobei im Gegensatz zur Strahlenoptik die Strahlen die optische Achse im Fokus nicht kreuzen, sondern in der Nähe der optischen Achse durch Hyperbeln angenähert werden können. Zur Charakterisierung solcher Strahlen(bündel) verwendet man die Strahlweite (Strahltaille) bei z = 0, bei der die Amplitude auf den e-ten Teil der Amplitude auf der Achse abgefallen ist, z.B. das äußerste Hyperbelpaar in folgender Prinzipskizze:

 

Gaussbeam Hyperbeln

Nicht nur die "Strahlbegrenzung", sondern auch die Strahlen selbst haben in der Nähe der optischen Achse (paraxial) Hyperbelform. Bei Laserstrahlen kann je nach Anwendung die Strahlform stark variieren: Ist man an geringer Divergenz, also großer Fokuslänge (das ist der Bereich, in dem die Strahlen "so gut wie parallel verlaufen") interessiert, so muss man eine große Strahlweite zulassen. Dabei gilt: Fokuslänge ~ Strahlweite^2/Wellenlänge. Für eine Fokuslänge von einem Kilometer benötigt man (mit einem roten Laser) eine Strahlweite von etwa 2cm und eine Strahlweite von 0,02mm ergibt eine Fokuslänge von etwa 1mm.

So viel zur groben Beschreibung von Gaußstrahlen. Wie sehen die Details aus?

Hier ist eine 3D-Darstellung der Amplitude eines Gaußstrahls:
In radialer Richtung (x) ist das Profil eine Gaußsche Glockenkurve, deren Breite in axialer Richtung (z) variiert.
Die Linien gleicher Amplitude, also die Höhenlinien der 3D-Darstellung, sehen so aus:
Gaussbeam 3D  Gaussbeam 2D 
Mit "Amplitude" ist natürlich die Amplitude (ihr Betrag) einer Welle gemeint. Eine alternative Darstellung wäre die Intensität einer Gauß-Welle, also ihr Amplitudenquadrat. Das sieht nicht wesentlich anders aus, kann dann aber als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, in einem Gaußstrahl ein Photon anzutreffen. Aber wie sieht nun eine Gaußstrahl aus, wenn man ihn als Welle "ernst nimmt", also a) die Wellenfronten und Strahlen untersucht, und b) berücksichtigt, dass es sich um elektromagnetische Wellen handelt?

Die Wellenfronten oder Linien gleicher Phase sind unten rot dargestellt, zusammen mit dem Gradientenfeld der zugehörigen Differentialgleichung, also der Richtung der Strahlen (= Orthogonaltrajektorien der Fronten). Offensichtlich verlaufen die Strahlen in größerer Entfernung von der Achse nicht mehr auf Hyperbeln (blau), aber dort ist ja die Amplitude (schwarze Kurven) oder Intensität ohnehin vernachlässigbar. (Die Länge der Pfeile wurde auf einen gemeinsamen Wert gesetzt.)

Gaussbeam Fronten

Gauss Fronten Hyperbeln
   
Wir ergänzen das Richtungsfeld durch Lösungskurven (schwarz). Das geht leider nur numerisch, weshalb die Kurven für die Strahlen nicht beliebig weit gezeichnet werden können (mit Maple). Jedenfalls sieht man so besser, dass "die Photonen nicht auf Hyperbeln unterwegs sind", sondern sich auch "vom Gaußstrahl verabschieden können", sogar nach rückwärts. Das wäre doch endlich einmal ein interessantes "Welcher-Weg-Experiment": Wie finde ich ein Photon neben dem Gaußstrahl? Bzw.: Unter welchen Bedingungen kann das Photon die Strahlbegrenzung tunneln?
Nein, im Ernst: die paraxiale Näherung ist hier überfordert.
Und dann wollten wir ja noch das elektromagnetische Feld untersuchen! In der Abbildung unten sind ein paar ausgewählte E-Feldlinien eingezeichnet. Man erkennt sie daran, dass sie alle geschlossen sind. Die Feldlinien zur maximalen Feldstärke auf der Achse fallen mit den Wellenfronten (rot) zusammen, reichen aber nicht "bis zum Pol (z = 0) der Fronten", an den sich wohl kein Photon verirren kann.
Aber bleiben wir ganz klassisch: Die Richtung der E-Feldlinien steht nicht überall senkrecht auf den Strahlen, das "freie E-Feld" ist also nicht überall transversal!
Gauss Strahlen Gauss Fronten Feld
   

Und wie bewegt sich nun die elektromagnetische Welle in einem Gaußstrahl? Die E-Wirbel sehen so aus (unterschiedliche Einfärbung je Drehsinn):

Gauss E-Feld

In Wirklichkeit bewegt sich das mit Lichtgeschwindigkeit, und in einem Laserstrahl ist die Wellenlänge etwas kürzer :-).

 

Aber bitte mit B-Feld!

Gauss E- und B-Feld

Und man sieht: In einem Gaußstrahl bilden die B-Linien (blau) mit den E-Linien (rot) eine "Kette", im Gegensatz zum Hertzschen Dipol.

Wenn man Photonen in einem Gaußstrahl von der Seite sehen (betrachten) könnte, würden sie vielleicht so aussehen:

Dargestellt ist ein Wellenpaket (seine Einhüllende), das die Amplitudenverteilung eines Gaußstrahls (siehe oben) durchläuft. "Wie man sieht" ändert das Wellenpaket seine Form, dispergiert also (radial) - und zwar im Vakuum, was man sonst nur von Elektronen (oder Materiewellen) kennt. Licht zeigt nur in einem Medium Dispersion, so lautet die Lehrmeinung. Aber Lehrmeinungen können irren, wie ein brandneues (22.01.15) Experiment zeigt:
http://www.sciencemag.org/content/early/2015/01/21/science.aaa3035.abstract

Und mit Streulicht kann man einen Gaußpuls auch von der Seite sehen, ebenfalls ein brandneues Experiment (April 2015): http://www.nature.com/nature/journal/v516/n7529/full/nature14005.html

Methode: Verwendete Gleichungen siehe z.B. "Grundlagen der Photonik", B.E.A. Saleh, M.C. Teich. Komplexe (skalare) Amplitude $U \left(\vec{r} \right)$ eines Gaußstrahls:

$U \left(\vec{r} \right) ={\frac {A_{{0}}W_{{0}}}{W(z) }\exp\left( -{\frac {{\rho}^{2}}{ W^2( z) }} \right) \exp\left( -ikz-{\frac {ik{\rho}^{2}}{2R \left( z \right) }}+i\zeta \left( z \right) \right) } $ , $\rho$ Abstand von der z-Achse und mit

$W(z)=W_0\sqrt{1+\left(\frac{z}{z_0}\right)^2}$ , Strahlweite

$R(z)=z\left( 1+\left(\frac{z_0}{z}\right)^2 \right)$ , Krümmungsradius der Wellenfronten

$\zeta(z)=\arctan(\frac{z}{z_0})$ , Gouy-Phase (hier nicht berücksichtigt)

$W_0=\sqrt{\frac{\lambda z_0}{\pi}}$ , Wellenlänge $\lambda$, $z_0$ halbe Fokuslänge (Rayleighlänge) und $A_0=A/i z_0$ ($A$ reelle Konstante).

Die zur komplexen Amplitude $U \left(\vec{r} \right)$ gehörigen Feldlinien ergeben sich aus den Maxwellschen Gleichungen (ebenfalls in paraxialer Näherung).


Siehe auch: Hertzscher Dipol | Longitudinale E-Wellen

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