Kugelpendel (sphärisches Pendel), Details

Auszüge aus einem Maple-Worksheet

Wir betrachten wieder den Sonderfall einer geschlossenen Bahn, der nur dann eintritt, wenn die Anfangsbedingungen passend gewählt sind (was nur numerisch berechnet werden kann -> elliptische Integrale). 

 

Das Pendel bewegt sich zwischen zwei Breitenkreisen (schwarz), die durch die Energie- und Drehimpulserhaltung vorgegeben sind. Im "Normalfall" der nicht geschlossenen Bahn wird jeder Punkt zwischen diesen Breitenkreisen irgendwann einmal erreicht (vgl. Lissajous-Figuren). 

 

Die Einzelheiten der Bewegung lassen sich an folgenden Diagrammen ablesen. 

 

Kugelkoordinaten 

Polarwinkel (rot), Winkelgeschwindigkeit (grün) und Winkelbeschleunigung (goldbraun) als Funktion der Zeit. 

> plot([tht(t),omtht(t),ath(t)],t=0..4.5);
 

 

Achtung: Der Polarwinkel wird von oben (Nordpol) gemessen, die Maxima der roten Kurve gehören also zur tiefsten Lage (unterer Breitenkreis) des Pendels (Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung sinngemäß).
Dass die polare Winkelgeschwindigkeit dort Null wird, bedeutet nicht, dass das Pendel stillsteht; vielmehr macht es in dieser Lage eine reine Drehbewegung um die senkrechte Achse:

Azimut 

> plot([pht(t),omt(t),aph(t)],t=0..4.5);
 

 

Nach einer vollen "polaren Periode" (die höchste Lage wird zum zweiten Mal wieder erreicht), ist die azimutale Präzession 1/4 Umdrehung. Die azimutale Winkelgeschwindigkeit muss wegen der Drehimpulserhaltung zunehmen, wenn sich das Pendel der vertikalen Drehachse nähert und wieder abnehmen, wenn es sich entfernt. 

 

Kartesische Koordinaten 

x-Koordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung in x-Richtung 

> plot([x,vx,ax/2],t=0..18);
 

 

Die Diagramme sind nun etwas komplexer, dafür sieht man die volle Periode der geschlossenen Bahn besser. 

 

Bewegung in y-Richtung: 

> plot([y,vy,ay/2],t=0..18);
 

 

Am einfachsten sind die Verhältnisse bei der Bewegung in z-Richtung: fast harmonisch. 

> plot([z,vz,az/2],t=0..18);
 

 

 

Weitere Phasendiagramme (v steht für Geschwindigkeit, a für Beschleunigung): 

> plot([x,z,t=0..18],labels=['x','z'],scaling=constrained);
 

 

 

> plot([x,y,t=0..18],labels=['x','y'],scaling=constrained);
 

 

 

> plot([x,vx,t=0..18],labels=['x','vx'],scaling=constrained);
 

 

 

> plot([x,vz,t=0..18],labels=['x','vz'],scaling=constrained);
 

 

> plot([x,az,t=0..18],labels=['x','az'],scaling=constrained);
 

 

> plot([ax,az,t=0..18],labels=['ax','az'],scaling=constrained);
 

 

> plot([vx,vz,t=0..18],labels=['vx','vz'],scaling=constrained);
 

 

> plot([vx,vy,t=0..18],labels=['vx','vy'],scaling=constrained);
 

 

> plot([ax,ay,t=0..18],labels=['ax','ay'],scaling=constrained);
 

 

 

© M. Komma 02/2011
Für die html-Ausgabe von Maple bin ich nicht verantwortlich...

Methode: Numerische Lösung der Differentialgleichungen mit Maple, siehe auch "Newtons Maschine".

Siehe auch:
Kugelpendel
Kreispendel
Überschlag
Mathematisches Pendel
Zykloidenpendel
Das Märchen vom harmonischen Oszillator im Schwerefeld
Harmonischer Oszillator, quantenmechanisch
Paulfalle, Standard
Paulfalle, Mechanisches Analogon | Paulfalle, Mechanisches Analogon, Details

Moderne Physik mit Maple

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